bwlkurse
BWL KurseOSTA · Statistik 1 · Prof. Hassler
Willkommen

Dein Weg zur OSTA‑Klausur.

Ein Kapitel nach dem anderen.

0%
Dein Fortschritt

0 von 10 Kapiteln

Kapitel 3 ist frei und wartet auf dich.
0erledigt
Tage bis Klausur
160Selbsttest‑Fragen
Leitsatz zum Tag
Standardisieren macht aus unendlich vielen Glockenkurven eine einzige.
Dein nächster Schritt
Dein Lernpfad

Kapitel für Kapitel

10 Kapitel · 160 Selbsttest-Fragen. Kapitel 3 schon gratis spielbar, der Rest als Vorschau.

1/11
Wiederholen

Gezielt festigen

Themen aus deinen Selbsttests, die du noch einmal üben solltest.

Noch nichts zu wiederholen

Sobald du einen Selbsttest gemacht hast, sammeln sich hier deine wackligen Themen zum gezielten Üben.

Einstellungen

Deine App

Dein Zugang
Probe-ZugangKapitel 3 frei · restliche Kapitel gesperrt
aktiv
Dunkler ModusSchwarz und Orange statt Silber
10 € Cashback
beim Kauf des Komplettpakets — für dein Feedback nach der Klausur.
Klausur-Werkzeuge
Meine Kurse
Rechtliches

Impressum

Rechtliches

Datenschutz

Rechtliches

AGB

Rechtliches

Widerruf

Hilfe

Schreib dem Entwickler

Die App ist ganz frisch und wird noch einige Kinderkrankheiten haben. Trag bitte hier ein, wenn du betroffen bist — mit Telefonnummer oder E-Mail. Wir melden uns schnellstmöglich bei dir.

Deine Angaben nutzen wir nur, um dein Problem zu bearbeiten und dich zu kontaktieren. Mehr im Datenschutz.

oder nach links wischen
OSTA

Formelsammlung

Alle Formeln aus Statistik auf einen Blick

Klausurchecker · Statistik · Formelsammlung

Kapitel 1 · Deskriptive Statistik I: Lage & Streuung

  • Relative Häufigkeit
    hj = nj / n

    Anteil der Ausprägung aj an allen n Beobachtungen; Summe aller hj = 1. Kumuliert: F(x) = h(X ≤ x).

  • Arithmetisches Mittel
    x-quer = (1/n) · Summe xi = Summe aj · hj

    Zweite Form direkt aus der Häufigkeitstabelle (gewichtete Summe der Ausprägungen).

  • Median
    n ungerade: mittlerer Wert; n gerade: Mittel der beiden mittleren Werte

    Vorher sortieren! Robust gegenüber Ausreißern.

  • Varianz (Verschiebungssatz)
    d² = (1/n) · Summe (xi - x-quer)² = (1/n) · Summe xi² - (x-quer)²

    Mittel der Quadrate minus Quadrat des Mittels – der Rechen-Turbo der Klausur.

  • Standardabweichung
    d = Wurzel aus d²

    Gleiche Einheit wie die Daten – die interpretierbare Streuungsgröße.

  • Lineartransformation
    y = a + b·x → y-quer = a + b·x-quer, d²(y) = b² · d²(x)

    Verschieben (a) ändert die Streuung nicht, der Faktor b wirkt quadratisch.

Merke: Verschiebungssatz heißt "Mittel der Quadrate minus Quadrat des Mittels" – nie gliedweise quadrieren, denn (a+b)² ist NICHT a²+b². Und beim Ausreißer gilt: Das Mittel wandert mit…

Kapitel 2 · Deskriptive Statistik II: Zusammenhang & Regression

  • Kovarianz (Verschiebungssatz)
    dxy = (1/n)·Σ(xi - x-quer)·(yi - y-quer) = (1/n)·Σ xi·yi - x-quer·y-quer

    Mittel der Produkte minus Produkt der Mittel – Schwester-Rezept zur Varianz dx² = (1/n)·Σ xi² - x-quer².

  • Korrelationskoeffizient (Bravais-Pearson)
    rxy = dxy / √(dx² · dy²) mit -1 ≤ rxy ≤ +1

    Dimensionslos; Vorzeichen = Richtung, Betrag = Stärke des linearen Zusammenhangs.

  • KQ-Regressionsgerade
    b^ = dxy / dx² a^ = y-quer - b^·x-quer y^ = a^ + b^·x

    ^ = Dach (KQ-Schätzer). Merk-Kette: dxy → rxy → b^ (es gilt auch b^ = rxy·dy/dx).

  • Bestimmtheitsmaß
    R² = rxy² = 1 - Σε² / (n·dy²) mit 0 ≤ R² ≤ 1

    ε = Residuum yi - y^i. Beide Rechenwege müssen dasselbe R² liefern – idealer Selbst-Check in der Klausur.

Merke: Die Klausur-Kette lautet dxy → rxy → b^ → R²: Die Kovarianz liefert die Richtung, normiert wird sie zur Korrelation (Stärke), skaliert zur KQ-Steigung (Prognose), quadriert zum…

Kapitel 3 · Wahrscheinlichkeitsrechnung

  • Laplace-Wahrscheinlichkeit
    P(A) = günstige Ergebnisse / mögliche Ergebnisse

    Nur bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen. Stets gilt 0 ≤ P(A) ≤ 1.

  • Additionssatz
    P(A oder B) = P(A) + P(B) - P(A und B)

    Schnitt abziehen – sonst wird er doppelt gezählt.

  • Komplement & De Morgan
    P(nicht A) = 1 - P(A); P(weder A noch B) = 1 - P(A oder B)

    "Weder noch" ist das Komplement der Vereinigung.

  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
    P(A|B) = P(A und B) / P(B)

    Ergebnisraum schrumpft auf B. Achtung: P(A|B) ≠ P(B|A) – gleicher Zähler, verschiedene Nenner.

  • Multiplikationssatz & Unabhängigkeit
    P(A und B) = P(A|B) · P(B) = P(B|A) · P(A); bei Unabhängigkeit: P(A und B) = P(A) · P(B)

    Die kurze Produktform gilt NUR bei stochastischer Unabhängigkeit.

  • Totale Wahrscheinlichkeit & Satz von Bayes
    P(B) = Summe P(B|Ai) · P(Ai); P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B)

    Bayes dreht die Bedingung um – von der bekannten Richtung P(B|A) zur gesuchten P(A|B).

Merke: UND heißt multiplizieren, ODER heißt addieren – aber P(A|B) ist NICHT P(B|A): gleicher Zähler P(A und B), verschiedene Nenner. Und: Disjunkt (P(A und B) = 0) ist NICHT unabhängig…

Kapitel 4 · Zufallsvariablen

  • Erwartungswert (diskret)
    E(X) = μ = Summe pi · ai

    Jeden Wert ai mit seiner Wahrscheinlichkeit pi gewichten und aufsummieren - der Schwerpunkt der Verteilung.

  • Varianz (diskret)
    Var(X) = σ² = Summe pi · (ai - E(X))²

    Gewichteter Durchschnitt der quadrierten Abweichungen; Standardabweichung σ = Wurzel aus Var(X).

  • Verschiebungssatz
    Var(X) = E(X²) - [E(X)]² mit E(X²) = Summe pi · ai²

    Nur zwei Summen noetig statt aller Abweichungsquadrate - gilt diskret wie stetig.

  • Stetiger Fall (Dichte)
    E(X) = Integral x · f(x) dx, Var(X) = Integral x² · f(x) dx - [E(X)]²

    Summe → Integral; die Gesamtflaeche unter f(x) ist 1, und P(X = a) = 0.

  • Verteilungsfunktion
    F(x) = P(X ≤ x), P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a), f(x) = F'(x)

    F entsteht durch Integrieren der Dichte f; Ableiten von F liefert f zurueck.

  • Rechenregeln E / Var
    E(aX + b) = a·E(X) + b, Var(aX + b) = a²·Var(X), Var(X ± Y) = Var(X) + Var(Y) bei Unabhaengigkeit

    Konstante b verschiebt nur den Erwartungswert; auf die Varianz wirkt der Faktor a quadratisch.

Merke: Verschiebungssatz Var(X) = E(X²) - [E(X)]²: erst quadrieren, dann mitteln ist NICHT dasselbe wie erst mitteln, dann quadrieren. Und im stetigen Fall ist Wahrscheinlichkeit Flaeche…

Kapitel 5 · Verteilungsmodelle: Binomial & Poisson

  • Bernoulli-Experiment Be(p)
    P(Xi = 1) = p; P(Xi = 0) = 1 - p; E(Xi) = p; Var(Xi) = p · (1 - p)

    Ein Versuch, zwei Ausgänge – der Grundbaustein der Binomialverteilung.

  • Binomialverteilung Bi(n, p)
    f(x) = (n über x) · p^x · (1 - p)^(n-x); E(X) = n · p; Var(X) = n · p · (1 - p)

    (n über x) = n! / (x! · (n - x)!) zählt die Anordnungen der x Treffer.

  • Tabelle A (Klausur-Grundmuster)
    P(X > x) = 1 - F(x); P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a - 1); bei p > 0,5: F(x; n, p) = 1 - F(n - x - 1; n, 1 - p)

    Tabelle A ist nur für p ≤ 0,5 vertafelt – bei p > 0,5 mit 1 - p rechnen.

  • Poisson-Verteilung Po(λ)
    f(x|λ) = e^(-λ) · λ^x / x!; E(X) = Var(X) = λ

    λ = mittlere Ereigniszahl im Intervall; skaliert mit der Intervalllänge (k Wochen → k · λ).

  • Poisson-Approximation
    Bi(n, p) ≈ Po(λ = n · p); Faustregel: n ≥ 100 und p ≤ 0,05

    Grenzprozess: n → unendlich, p → 0, λ = n · p konstant – großes n, kleines p (seltene Ereignisse).

  • Diskrete Gleichverteilung DG(k)
    f(x) = 1/k für x = 1, …, k; E(X) = (k + 1)/2; Var(X) = (k² - 1)/12

    k gleich wahrscheinliche Ausgänge; F(x) = x/k für x = 1, …, k.

Merke: Erst das Zählmuster erkennen, dann rechnen: festes n mit Trefferchance p → Binomialverteilung (E = n · p, Var = n · p · (1 - p)); seltene Ereignisse pro Zeitraum →…

Kapitel 6 · Normalverteilung & Stichprobenmittel

  • Standardisieren (Tab. C)
    z = (x - μ)/σ; P(X ≤ x) = Φ(z); Φ(-z) = 1 - Φ(z)

    Der z-Wert misst den Abstand zu μ in Vielfachen von σ; Tab. C vertafelt nur positive z.

  • Rechenregeln
    P(X > x) = 1 - Φ(z); P(a ≤ X ≤ b) = Φ(z_b) - Φ(z_a)

    Immer erst standardisieren, dann ablesen – große Fläche minus kleine Fläche.

  • Quantil / Destandardisieren (Tab. D)
    x_p = μ + z_p · σ

    x_p wird mit Wahrscheinlichkeit p unterschritten. Tab. D: z_0,80 = 0,8416; z_0,90 = 1,2816; z_0,95 = 1,6449; z_0,975 = 1,96.

  • Zentrales Schwankungsintervall
    ZSI zum Niveau 1 - α: [μ ± z_(1-α/2) · σ]

    α verteilt sich je zur Hälfte auf beide Ränder – deshalb z_(1-α/2), nicht z_(1-α).

  • Summe & Stichprobenmittel
    ΣXi ~ N(n·μ; n·σ²); X-quer ~ N(μ; σ²/n); Standardfehler: σ/Wurzel(n)

    Standardisieren des Mittels: z = (x-quer - μ)/(σ/Wurzel(n)).

Merke: Ein Handgriff trägt durch das ganze Kapitel: standardisieren (Wert → z → Φ ablesen) bzw. destandardisieren (Anteil → z_p → x_p = μ + z_p · σ). Beim Stichprobenmittel gilt exakt…

Kapitel 7 · Schätzen: Punktschätzer & Maximum Likelihood

  • Schätzfunktion & Stichprobenmittel
    θ^ = g(X1; ...; Xn); μ^ = X-quer = (1/n) · Summe der Xi

    Der Schätzer ist selbst eine Zufallsvariable – deshalb kann man E(θ^) und Var(θ^) untersuchen.

  • Bausteine aus dem ZGW (Kapitel 6)
    E(X-quer) = μ; Var(X-quer) = σ²/n; Standardfehler = σ/Wurzel(n)

    Für großes n (Faustregel n ≥ 30) ist X-quer näherungsweise normalverteilt.

  • Bias & Erwartungstreue
    b(μ^) = E(μ^) - μ; erwartungstreu: E(μ^) = μ, also Bias = 0
  • Konsistenz
    lim E(μ^) = μ und lim Var(μ^) = 0 (für n → unendlich)

    Zwei Bedingungen zugleich: Der systematische UND der zufällige Fehler verschwinden.

  • Mittlerer quadratischer Fehler
    MQF(μ^) = Bias² + Var(μ^)

    Bei Erwartungstreue gilt MQF = Varianz – die Effizienz entscheidet dann der Varianzvergleich.

  • Maximum Likelihood
    L(θ) = f(x1|θ) · ... · f(xn|θ); ln L ableiten, nullsetzen → θ^_ML; Exponentialverteilung: λ^_ML = 1/x-quer

    Momentenmethode: E(X) = x-quer setzen und auflösen – bei der Exponentialverteilung ebenfalls 1/x-quer.

Merke: Erst die Güte, dann das Rezept: Ein guter Schätzer trifft im Mittel (Bias = 0) und wird mit mehr Daten immer besser (Konsistenz) – verglichen wird über den MQF = Bias² + Varianz…

Kapitel 8 · Konfidenzintervalle

  • Fall A: σ bekannt
    KI_(1-α) = [x-quer ± z_(1-α/2) · σ/Wurzel(n)]

    Tab. D: z_0,95 = 1,6449; z_0,975 = 1,96; z_0,995 = 2,5758.

  • Fall B: σ unbekannt, n < 30
    KI_(1-α) = [x-quer ± t_(1-α/2)(n-1) · S/Wurzel(n)]

    Freiheitsgrade n - 1 (Tab. E), z. B. t_0,975(15) = 2,1314; S² = 1/(n-1) · Σ(xi - x-quer)².

  • Fall C: große Stichprobe (n > 30)
    KI_(1-α) = [x-quer ± z_(1-α/2) · S/Wurzel(n)]

    Zentraler Grenzwertsatz: Bei großem n wieder z-Quantile, auch wenn σ durch S geschätzt wird.

  • Intervalllänge (Fall A)
    L = 2 · z_(1-α/2) · σ/Wurzel(n)

    Höheres Niveau → länger; mehr Daten → kürzer, aber nur mit Wurzel(n).

  • Notwendiger Stichprobenumfang
    n ≥ (2 · z_(1-α/2) · σ / L)²

    Immer auf die nächstgrößere ganze Zahl aufrunden – Abrunden verletzt die geforderte Höchstlänge.

Merke: Zufällig sind die Grenzen, nicht μ: '95 %' meint die Häufigkeitsdeutung – bei vielen Wiederholungen überdecken rund 95 % der Intervalle den wahren Wert. Das Quantil folgt der…

Kapitel 9 · Testen I: Testprinzip & Gauß-Test

  • Gauß-Test (Fall A: σ bekannt)
    Z = (x-quer - μ0) / (σ/Wurzel(n))

    Unter H0 standardnormalverteilt; σ/Wurzel(n) ist der Standardfehler des Stichprobenmittels.

  • Ablehnbereiche
    beidseitig: |Z| > z(1-α/2); rechtsseitig: Z > z(1-α); linksseitig: Z < -z(1-α)

    Beidseitig teilt sich α auf beide Ränder auf (je α/2), einseitig liegt die gesamte Fläche α an einem Rand.

  • Klausur-Quantile (Tab. D)
    z0,90 = 1,2816; z0,95 = 1,6449; z0,975 = 1,96; z0,99 = 2,3263; z0,995 = 2,5758

    α = 0,05: beidseitig 1,96, einseitig 1,6449. α = 0,01: beidseitig 2,5758, einseitig 2,3263.

  • p-Wert
    beidseitig: p = 2 · (1 - Φ(|z|)); rechtsseitig: p = 1 - Φ(z); Regel: p < α → H0 verwerfen

    Kleinste Irrtumswahrscheinlichkeit, bei der die Daten H0 gerade noch kippen – nicht die Wahrscheinlichkeit, dass H0 wahr ist.

  • Anteilstest (großes n)
    Z = (p^ - p0) / Wurzel(p^ · (1 - p^)/n)

    p^ = Anteil in der Stichprobe; entschieden wird wieder über die z-Quantile.

Merke: Jeder Test ist dasselbe 4-Schritte-Schema: Hypothesen → Ablehnbereich → Teststatistik → Testentscheidung. Was du zeigen willst, gehört in H1 – H0 kann nur beibehalten oder…

Kapitel 10 · Testen II: t-Test & Chi-Quadrat

  • Korrigierte Stichprobenvarianz
    S² = 1/(n-1) · Σ(xi - x-quer)² = n/(n-1) · dx²

    Erwartungstreuer Schätzer für σ²; dx² = mittlere quadratische Abweichung. Nenner n - 1, weil μ durch x-quer geschätzt wurde.

  • Einstichproben-t-Test
    T = (x-quer - μ0) / (S/Wurzel(n)), T ~ t(n-1)

    Zweiseitig ablehnen, falls |T| > t_(1-α/2)(n-1) (Tab. E). Ab n > 30 näherungsweise z-Quantile (Tab. D).

  • χ²-Anpassungstest
    χ² = Σ (ni - ni(0))² / ni(0) mit ni(0) = n · pi(0)

    ν = k - m - 1 (m = geschätzte Parameter). Alle ni(0) ≥ 5, sonst Klassen zusammenfassen. Ablehnen, falls χ² > χ²_(1-α)(ν) (Tab. F).

  • χ²-Unabhängigkeitstest
    χ² = ΣΣ (nij - ñij)² / ñij mit ñij = ni. · n.j / n

    ν = (k-1) · (l-1); Voraussetzungen: n > 50 und alle ñij > 5. Ablehnen nur rechts (Tab. F).

  • Kritische Werte (Auswahl)
    t_0,975(8) = 2,306 · t_0,975(15) = 2,1314 · χ²_0,95(1) = 3,841 · χ²_0,95(3) = 7,815 · χ²_0,95(4) = 9,488 · χ²_0,95(5) = 11,07

    Zum Vergleich: z_0,975 = 1,96 – t-Quantile liegen stets darüber.

Merke: Erst fragen: WAS wird geprüft? Mittelwert → z- oder t-Test (σ bekannt → z, Tab. D; σ unbekannt und n klein → t mit n - 1 Freiheitsgraden, Tab. E) · Verteilungsform →…

OSTA

Notfallplan bis zur Klausur

Dein Rückwärtsplan für Statistik – realistisch statt hoffnungsvoll gerechnet, ab jetzt bis zur Klausur.

Noch bis zur Klausurwird berechnet …

OSTAStatistik 1

Willkommen zurück

Melde dich mit deiner E-Mail und deinem Passwort an. Dein Fortschritt ist an dein Konto gebunden.

Kein Konto? Es wird nach dem Kauf automatisch für dich angelegt.